CUADRATURA
CERCULUI
REZOLVATA prin CIRCULATURILE
PATRATULUI pentru PI=4/sqrt(PHI)
de Mircea-Mugurel Serban
PREAMBUL: Scrisoare deschisa… (Nominalizarea efectiva pe forumuri a destinatarului o voi face ulterior, la momentul potrivit. Sper sa am si un raspuns pana atunci!)
Domnule
ACADEMICIAN,
In
primul rand, imi cer scuze pentru maniera de adresare, dar fac o
ultima tentativa de a ma face inteles in privinta demersurilor mele
legate de cunoasterea unor corelatii aparte in care este implicat
Numarul de Aur, avand ca finalitate METODA ROMANEASCA de REZOLVARE a
CUADRATURII reale a CERCULUI.
Am
asteptat in zadar, timp de peste de sase luni, raspunsul
dumneavoastra la scurta mea interventie adresata Presedintelui
Academiei Romane, care –asa cum mi s-a comunicat prompt- v-a fost
transmisa, din cate am inteles (Sper sa nu gresesc!), spre informare,
analiza si raspuns…
Sunt
aproape convins ca ma considerati, la prima apreciere, ca fiind prea
insistent, chiar insolent si intempestiv, insa va rog sa ma
intelegeti ca asteptarile, de-a lungul a peste 16 ani, m-au pus in
situatia sa reactionez cum nu mi-am dorit, recurgand uneori chiar si
la un stil quasi-pamfletar dobandit –probabil- pe vremea cand am
fost gazetar (O, tempora!). Imi cer iertare, pe aceasta cale, celor
pe care i-am deranjat (mai mult sau mai putin!) prin scrisul,
atitudinea si actiunile mele, dar consider subiectul mult prea
important incat sa renunt la dezbatere si atestare aici, in ROMANIA!
Sustin
totusi ca, cel putin intr-o prima etapa si in cateva momente
ulterioare acesteia, am procedat deontologic in sensul ca, desi ma
documentasem indeajuns si intuisem (prin 1993) corelatia indisolubila
si indubitabila intre Constanta Cercului (PI) si Numarul de Aur
(PHI), am facut afirmatia in nr.5 al revistei <STRING>, precum
si cu alte ocazii, ca problema ar trebui analizata si rezolvata de
catre matematicieni si fizicieni, eu fiind departe de statutul de
specialist in aceste domenii…De fapt sunt, mai exact am fost
economist, acum pensionar.
Am
constatat insa ca atat insistentele mele, cat si ale altora cu mai
mult aplomb decat mine (veti vedea!), nu au fost luate in seama nici
in tara si nici pe plan international, in “lumea dumneavoastra”,
a matematicienilor, sau poate nu am aflat eu, neavand un
raspuns/feed-back direct! Este posibil sa aveti si sa va satisfaca
vreo explicatie in acest sens, dar multe personae m-au intrebat de ce
nu sunt cunoscute si invatate cele mai multe aspecte si corelatii
legate de Numarul de Aur!?
Nu
intentionez aici si nici in alta parte sa rescriu o istorie a
Numarului de Aur (sau a Sirului lui Fibonacci) incepand, spre
exemplu, cu pitagoreicul Hippasus din Metapont, exclus si executat
simbolic, prin inecare, de catre confrati pentru indrazneala de a
dezvalui neinitiatilor secretele Dodecaedrului si ale Numarului de
Aur! Aceasta poate fi aflata din carti, publicatii si de pe internet,
mai putin din manualele scolare (sau deloc!), ceea. ce nu o apreciez
(pe aceasta din urma) ca fiind o situatie de normalitate in procesul
instructiv-educativ, in secolul 21…
Trebuie
sa mentionez ca nu sunt primul care sustin relatia PI=4/sqrt(PHI):
-Am
gasit, de pilda, ca prin anii 60-70 ai secolului trecut(20!), Max
Toth si Greg Nielsen, in cartea lor <Energia secreta a
piramidei/Pyramid power.The secret energy of the ancients, revealed>,
abordeaza ca certa aceasta relatie, insa cand incearca o succinta
analiza a unghiului de la baza Marii Piramide (pe apoteme), gresesc
flagrant si propun si ei problema spre rezolvare si finalizare
matematicienilor!
-Au
mai existat si alte abordari anterioare celei de mai sus, printre
care mie mi s-a parut deosebit de interesanta aceea a lui Matila
Ghyka (enciclopedist de origine romana, cunoscut pentru lucrarile si
cartile sale privind Numarul de Aur, ca element din natura
definitoriu si caracteristic, preluat in special in artele plastice:
v.<Le Nombre d’Or>/<Estetica si teoria artei>etc.!),
care a sesizat -ca si altii, de altfel- apropierea dintre raportul
4/(PI)=1.273 (…) si radicalul Numarului de Aur 1.272(…)=sqrt(PHI),
tratand-o si clasand-o insa drept “coincidenta cu totul
intamplatoare”. Are in schimb meritul (printre multe altele: baza
vasta si solida de documentare , analiza matematizata si spirituala,
precum si excursul istoric deosebit nuantat!) de a-mi fi sugerat,
prin continutul si topica expunerii, natura raportului mentionat:
4/(PI) poate fi usor perceput si analizat ca dubla relatie intre
patrat si cerc, respectiv atat intre perimetrele, cat si intre
suprafetele (ariile) acestor doua forme geometrice, privite prin
<prisma> posibilelor corelatii intr-un model adecuat al Marii
Piramide.
Acesta
poate fi considerat PUNCTUL de plecare, teoretic si practic (inclusiv
pe teren!), pentru demonstratia, determinarea si configurarea
geometrica a dublei CIRCULATURI a patratului si –implicit- a
CUADRATURII reale a cercului. Desigur ca mai sunt multe aspecte de
clarificat, printre care ceea ce eu am numit <PARADOXUL
unghiurilor mici> …Sper sa fie preluat si analizat de catre
specialisti (matematicieni, fizicieni etc.).
Pana
la finalul expunerii (in PARTEA a II-a) voi incerca sa va prezint si
unele din posibilele explicatii ale inspiratiilor mele, pe care multi
preopinenti le considera bizare…!
Mai
mentionez ca o parte din argumentele si continutul sustinerii ideilor
si actiunilor mele au fost postate
pe http://www.stiinta.info/forum/index.php?topic=84.0 .
Acesta va fi, in acelasi timp, unul din plasamentele textului de
fata…
IPOTEZA:
PI=4/sqrt(PHI)=3.144605511029693144(…)
PARTEA
A I-a: CIRCULATURA/CUADRATURA
PERIMETRELOR:
Varianta
INTEGRALA:
PASUL
1=Pe o coala de hartie A4 (preferabil de matematica, pentru
usurinta constructiei geometrice!), la 7centimetri de baza, pe
mijlocul colii, se fixeaza cu creionul un punct pe care-l notam cu
litera G’…Masurarea exacta se efectueaza, bineinteles, cu RIGLA/
ECHER!
PASUL
2=Tot cu ajutorul RIGLEI, din punctul G’ se traseaza pe
orizontala doua segmente de dreapta de 3.5 centimetri, la stanga si
la dreapta, ale caror capete corespondente le notam cu A’(stanga)
si B’(dreapta)…Pentru a nu incarca deocamdata constructia cu
conturul unui patrat, consideram segmentul de dreapta A’B’(total:
7 centimetri) ca fiind MEDIANA/MERIDIANA si -in aceeasi masura-
echivalentul LATURII bazei de marime ipotetica 2(UNITATI) a unei
PIRAMIDE, in cazul nostru doua UNITATI de 3.5 centimetri fiecare,
adecuate marimii colii de hartie si scopului propus…
NOTA
1:-Pentru o coala de hartie A3 UNITATEA ar fi de 7centimetri, LATURA
patratului/BAZA fiind de 2 UNITATI, masurand deci efectiv 14
centimetri…Este insa mai dificil de gasit un COMPAS pe masura! Cred
totusi ca se poate folosi cu succes si formatul A3 recurgand la o
unitate mai mica, mai ales daca se intentioneaza realizarea a mai
mult de doua piramide legate, ceea ce eu nu am incercat pana acum si
nici nu mi-am stabilit un asemenea obiectiv…
PASUL
3=Din punctul G’ trasam pe verticala in sus segmentul G’H’
de 3.5 centimetri (UNITATEA aleasa), perpendicular pe dreapta A’B’,
eventual cu ajutorul echerului dreptunghic gradat in milimetri(mai
ales daca nu folosim coala de matematica!).
Din
acest moment si stadiu al demonstratiei nu voi mai folosi
masurile/marimile exprimate in centimetri ale segmentelor, ci ma voi
raporta la 1(UNU/UNITATE!)!
NOTA
2:-1(UNU/UNITATE) pe care eu il consider ELEMENT PRIMordial
/fundamental de referinta…De altfel, din cate imi amintesc, asa se
si procedeaza in practica demonstratiilor matematice/geometrice,
respectiv “investirea” unui segment de REFERINTA cu valoarea
1(UNU/UNITATE), inclusiv la cuantificarea functiilor trigonometrice
pentru determinarea dimensiunii unghiurilor, la alcatuirea
capitolului corespunzator din <TABELELE MATEMATICE> fiind luat
in calcul insusi CERCUL de RAZA=1(UNITATE). Si -pentru a ma face si
mai bine inteles- ASA CUM ORICE SEGMENT (SAU…NUMAR) POATE FI
CONSIDERAT BAZA DE REFERINTA SI DECI REDUS LA
RAZA=1(UNU/UNITATE/UNIDIMENSIONALITATE, AJUNGAND INTR-UN PUNCT PE
CARE IL NUMIM, CONVENTIONAL, <CENTRU>), TOT ASA POT AFIRMA,
fara sa am senzatia ca gresesc sau ca exagerez, CA ORICE SISTEM DE
REFERINTA POATE FI CONSIDERAT UN CERC A CARUI RAZA ESTE MULTIPLU
(unitar sau supraunitar) sau chiar echivalent AL LUI 1(UNU/ UNITATE),
GENERAND DEZVOLTARI DE DIVERSE NATURI…SI IN ACEASTA ACCEPTIE,
precum reciproca unei teoreme oarecare, RECURGAND LA ATRIBUIREA UNEI
VALORI SAU DIMENSIUNI INTR-UN SISTEM DE CUANTIFICARE OARECARE, RAZA
INSASI DEVINE <FACTOR DE MULTIPLICARE(subunitar, unitar sau
supraunitar)> REFERENTIAL!!! Ii putem atribui ORICE VALOARE SAU
DIMENSIUNE, inclusiv 3.14159(…), asa cum a procedat unul din
preopinentii mei pe forum-ul <stiinta.info>, ceea ce nu
inseamna insa ca a rezolvat problema PI-ului, prin RAZA cercului…As
numi aceasta maniera de rezolvare ca fiind o <TAUTOLOGIE
GEOMETRICA CONCEPTUALA>, care se practica adesea!
Eu
mai reamintesc si subliniez ca aceasta (RAZA), este in acelasi timp
jumatatea LATURII patratului circumscris cercului (precum si
jumatatea DIAGONALEI patratului inscris!), IAR ORICARE PATRAT POATE
FI DIVIZAT LA INFINIT IN PATRATE DIN CE IN CE MAI MICI, CU CERCURI
INSCRISE SI CIRCUMSCRISE ASISDEREA, ALE CAROR UNGHIURI AU INSA
FUNCTIILE TRIGONOMETRICE EXPRIMABILE SI DETERMINABILE, IN MOD
EXCLUSIV, PRIN ELEMENTE RECTANGULARE, PATRATICE…cu care si noi
lucram si am putea lucra la “INFINIT”, fara SA NE INTREBAM: -DE
CE, PE PARCURSUL DEMONSTRATIILOR GEOMETRICE, NUMAI PRIN ELEMENTE
RECTANGULARE/PATRATICE/DREPTUNGHICE PUTEM DETERMINA UNGHIURILE DIN
INTERIORUL CERCULUI, PRECUM SI LATURILE SI UNGHIURILE TUTUROR
CELORLALTE FIGURI SI FORME GEOMETRICE???! Sunt aspecte peste care se
trece mult prea usor!!!
PASUL
4=Intra in scena COMPASUL, cu ajutorul caruia stabilim mai intai,
prin metodologia deja cunoscuta din clasele primare, mijlocul
segmentului G’H’(UNITATE) pe care il notam cu litera I’.
Folosind RIGLA, trasam segmentul A’I’, fara sa mai trasam si
segmentul B’I’din aceleasi considerente de evitare a incarcarii
inutile a constructiei.
Rezulta
triunghiurile dreptunghice A’I’G’ si B’I’G’ identice,
avand cateta comuna/ INALTIMEA I’G’=1/2(UNITATI)=0.5, catetele
individuale A’G’=B’G’=1(UNU)=1, precum si ipotenuzele
individuale A’I’=B’I’(netrasata)=[sqrt(5)]/2=1.1180339887(…)
.
NOTA
3:-Eu numesc acest tip de triunghi, cu laturile 1/2//1//[sqrt(5)/2],
GNOMON GEOMETRIC PRIMORDIAL/ UNIVERSAL (FUNDAMENTAL), care -asa cum
se poate remarca- difera fata de VINCLUL/triunghiul ZIDARULUI,
“clasicul” triunghi SACRU cu laturile 3//4//5, atribuit lui
Pitagora…Veti vedea si veti putea constata
ca,
pornind de la acest tip de triunghi/GNOMON, se pot trasa nu numai
unghiuri drepte, patrate si dreptunghiuri, ci si alte operatiuni:
determinarea SECTIUNII de AUR -(PHI) si (phi)- , trasarea si
construirea unui PATTERN piramidal (mai exact: transformarea unui
desen bidimensional/2D in doua sau mai multe PIRAMIDE
tridimensionale/3D, corect si exact determinate din punct de vedere
geometric/matematic) etc.
PASUL
5=Trasam cu compasul CERCUL cu diametrul G’H’(1/UNU/UNITATE),
avand centrul in punctul I’ si -implicit- RAZA=1/2, dupa care se
traseaza DOUA CERCURI cu centrele in punctele A’ si B’, tangente
exterioare la primul cerc in punctele J’ si K’ (si care
intersecteaza dreapta A’B’ in punctele L’ si M’)…Se
constata foarte usor ca RAZELE acestor cercuri au aceeasi masura,
respectiv A’J’=B’K’=[sqrt(5)+1]/2= 1.6180339887(…)=(PHI)
(Numarul de AUR).
NOTA
4:-Desi pentru scopul demonstratiei noastre nu se constituie intr-un
aspect absolut necesar, nu pot trece peste completarea procedurii de
IMPARTIRE a segmentelor A’G’ si B’G’ in MEDIE si EXTREMA
RATIE, motiv pentru care se pot trasa DOUA CERCURI concentrice
interioare celorlalte doua, avand desigur aceleasi centre A’ si B’,
tangente la primul cerc in punctele J” si K” si care
intersecteaza segmentul A’B’ in punctele L” si M”, cu RAZELE
A’J”=B’K”=[sqrt(5)-1]/2=0.6181339887(…), asadar cu
1(UNITATE) mai mici decat razele celorlalte doua (care le sunt
concentrice exterioare), situatie/ proprietate UNICA(Numarul de Aur
fiind mai mare cu 1/UNU/UNITATE decat inversul sau, situatie pe care
o putem exprima literal (PHI)-1/(PHI)=(PHI)-(phi)=1, dar pe care eu o
consider FUNDAMENTALA pentru GEOMETRIE, ignorata aproape complet pana
acum…Pe scurt, spunem ca punctele L’,L”,M’,M”
impart(simetric) segmentele A’G’ si B’G’ in medie si extrema
RATIE, astfel incat:
A’L’/A’G’=B’M’/B’G’=1.618(…)/1=A’G’/A’L”=B’G’/B’M”=1/0.618(…)=1.618(…)…Cu
alte cuvinte, avem de-a face cu o PROPORTIE CONJUGATA intre marimile
unor segmente foarte usor de determinat, delimitate si definite din
punct de vedere GEOMETRIC:
[sqrt(5)+1]/2=2/[sqrt(5)-1]=1.618(…)=(PHI), care au ca BAZA de
REFERINTA 1(UNU/ UNITATEA!) si ca element de proportionalitate
NUMARUL DE AUR(PHI): {[sqrt(5)+1][sqrt(5)-1]=5-1=4…etc. Consider ca
aici este locul potrivit sa fac urmatoarele remarci, observatii si
precizari:
a-Exista
mai multe procedee de impartire a unui segment in medie si extrema
ratie, toate avand ca baza de plecare laturile si celelalte elemente
de constructie ale patratului, aspect pe care il apreciez ca fiind
esential in cele ce sustin eu privind PI=4/sqrt(PHI)…Ce mi se pare
destul de curios este si faptul ca fiecare “impatimit” de acest
subiect (Sectiunea sau Numarul de Aur) considera ca
modelul/PATTERN-ul sau de lucru este cel mai adecuat pentru obtinerea
unor rezultate reprezentative si chiar exhaustive! Voi prezenta pe
scurt, in notele finale ale acestei demonstratii, procedeul D-lui
Carlos Martin Piera care are totusi meritul incontestabil privind
rezolvarea(!) CUADRATURII propriu-zise a CERCULUI, prezentand-o insa
ca pe o varianta(…printre altele!) posibila, fara sa recurga la
alte procedee complementare, cum sunt MASURATORILE pe teren si fara
posibilitatea de a utiliza procedeul in combinatii mai complexe
s.a.m.d.
b
-Dintre toate procedeele eu il consider pe acesta, pe care il sustin
aici si acum, ca fiind cel mai complet si sugestiv, cu observatia ca,
in lucrarile care mi-au cazut in mana si sub ochi, erau duse din
punctele de tangenta (notate aici cu J’,J”,K’,K”) numai arce
de cerc pana la intersectia cu dreapta A’B’, fara a se sugera cel
putin prin arce mai mari(daca nu prin cercuri complete!), pana la
intersectia cu verticala ridicata prin punctele G’ si H’,
SECTIUNILE PIRAMIDALE care intereseaza pentru demonstratia in
discutie, aici de fata…
c-Unghiurile
GNOMONULUI FUNDAMENTAL si functiile trigonometrice ale acestora se
regasesc in formulele 1.1-1.7
in http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html
.
De asemenea, prin stradania unui cititor al forumului <stiinta.info>,
au fost preluate, impreuna cu celelalte formule si in
http://www.davidicke.com/forum/showthread.php?t=32453&page=181 (Nassim
Haramein), precum si in topic-ul <…61370&page=17> (Marko
Rodin) al aceluiasi forum.
d-Desi
masuratorile efectuate pana acum, in epoca moderna, nu au evidentiat
in mod clar introducerea Numarului de Aur si a proportiilor derivate
de acesta in proiectarea si constructia Marii Piramide de pe platoul
Giseh, subliniez aici si acum ca se poate constata usor prezenta
GNOMONULUI 1//1/2//[sqrt(5)]/2 nu numai in ceea ce priveste unghiul
de vizualizare a Stelei Polare[v.Matila Ghyka:
26.56505118(…)gr.sexag.], ci analizand profilele culoarelor care
mi-au trecut prin mana am constatat, in diferite ipostaze, acelasi
unghi de inclinare, precum si prezenta celorlalte unghiuri ale
GNOMONULUI, formate cu verticala si orizontala locului…Mai mult
chiar, am remarcat pozitionarea “in oglinda”, intre camerele
Regelui si a Reginei, a doua triunghiuri GNOMON (asemenea), avand
catetele mari situate pe orizontala comuna (sus/mare// jos/mica),
astfel incat procedand in aceeasi maniera ca la impartirea unui
segment in medie si extrema RATIE (trasarea unor cercuri/arce de
cerc), se obtine profilul unei structuri embrionare(…sau:
rinichi/ureche/boaba de fasole/etc.)
MENTIUNE:-Indiferent
necorelarile cu rezultatele multitudinii de masuratori pe Platoul
Giseh ,aspectele mentionate mai sus si multe altele(inclusiv
inspiratiile mai mult sau mai putin bizare), m-au determinat sa
cuplez la varianta folosirii Numarului de Aur cel putin in conceperea
si proiectarea Marii Piramide…Iar rezultatele, cum veti vedea, au
fost peste asteptari, fie si daca nu vom reusi niciodata sa aflam
toate detaliile si mai ales scopurile ezoterice si chiar functionale
ale constructiei!...
PASUL
6=Se noteaza cu litera N’ intersectia cercurilor de raza (PHI)
(avand centrele in A’ si B’) cu verticala care trece prin
punctele G’, H’ si I’si se traseaza segmentele A’N’ si
B’N’…
Acestea
sunt, in fapt, laturile egale cu (PHI) ale triunghiului isoscel
A’N’B’, pe care il consideram SECTIUNEA mediana/MERIDIANA a
PATTERN-ului piramidal, alcatuit din triunghiurile dreptunghice
identice A’N’G’ si B’N’G’, cu masurile: 1=CATETELE mici:
A’G’=B’G’//[sqrt(PHI)] =CATETA mare (comuna)/INALTIMEA
piramidei: N’G’//(PHI)=IPOTENUZELE A’N’=B’N’…In aceeasi
masura se considera ca aceste din urma segmente [(A’N’=B’N’=(PHI)],
fiind APOTEMELE piramidei reprezinta, la randul lor, INALTIMEA
fetelor laterale(triunghiuri isoscele, de asemenea).
NOTA
5:-Se constata si aici diferenta prin 1(UNU/UNITATE), proprietate
specifica Numarului de Aur ,de asta data intre PHI^2=(ipotenuza^2) si
PHI=[ (cateta mare)^2 =sqrt(PHI)^2],REZULTATUL fiind
1[UNU/UNITATE=(cateta mica)^2 =1^2=1=cateta mica]. Acest tip de
triunghi dreptunghic este si el UNIC printre suratele sale, avand
laturile crescande in PROGRESIE GEOMETRICA cu RATIA=sqrt(PHI)=1.272
(…), spre deosebire de alte triunghiuri pitagoreice /diofantine/
”sacre”/etc.,ale caror laturi cresc in progresie aritmetica,
ex:3//4//5. UNIC, dar in acelasi timp cu valente mai mult decat
GENERALIZATOARE, as putea spune (fara teama de a gresi!) VALENTE
DEFINITORII, pentru o MATEMATICA/ GEOMETRIE care se vrea COMPLETA,
apropiata de perfectiune, dar mai ales REALA, NATURALA si EXACTA,
sau… indiferent cum am vrea noi sa o denumim si sa o caracterizam…
Ipostazele
PHI-1/PHI=PHI^2-PHI=1 au fost transpuse de altfel de catre
matematicieni si in ecuatia algebrica x^2-x-1=0, avand una din
solutii Numarul de Aur(PHI). Ceea ce nu am gasit insa pe nicaieri in
lucrarile consacrate sunt si alte egalitati interesante, rezultate si
coroborate logic cum ar fi, de pilda, x^2-1/x-2=0, care duce implicit
la x^3-2x-1=0, cu aceeasi solutie (PHI/Numarul de Aur) si nu am gasit
nici ecuatia x^2+x-1=0, care are ca solutie 1/PHI=phi=0.618(…)
s.a.m.d…Desi lucrurile par foarte simple si fara “bataie de
cap”(la…”mintea cocosului”!), afirm cu toata convingerea ca
nu sunt luate in seama si poate aceasta este una.din cauzele
ignorarii si chiar respingerii unor concluzii si implicatii cu mult
mai importante si profunde!!!…
Cum
am mai spus, sustinatorii TEORIEI prezentei Numarului de Aur in
conceptia si proiectarea Marii Piramide afirma ca TRIUNGHIUL isoscel,
exprimat aici literal prin A’N’B’, reprezinta SECTIUNEA
MERIDIANA/MEDIANA, segmentul N’G’=[sqrt(PHI)]=1.272(…)= (CATETA
MARE comuna a celor doua triunghiuri dreptunghice A’N’G’ si
B’N’G’) devenind INALTIMEA piramidei, laturile notate aici cu
A’N’=B’N’=(PHI) reprezentand echivalentul celor patru
APOTEME, respectiv INCLINATIA pe BAZA a fetelor laterale (triunghiuri
isoscele, de asemenea), iar segmentul A’B’ (format din CATETELE
MICI A’G’=B’G’=1), fiind, cum am mai mentionat la PASUL 2, in
aceeasi masura, echivalentul LATURII si MEDIANEI/ MERIDIANEI bazei
piramidale. Analiza unghiulara si functiile trigonometrice ale
acestor configuratii triunghiulare, cu semnificatii deosebite -intre
care cel de 51.82729237(…)gr. sexag., similar unghiurilor de
0//45//90 grade sexag.(!!!)- se regasesc in formulele 2.8-2.14
in http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html
…In
acelasi timp, segmentele A’N’=B’N’= (PHI) sunt (subliniez: in
aceste conditii!), INALTIMI ale FETELOR/triunghiuri laterale!…
PASUL
7=Intre varfurile COMPASULUI se cuprinde unul din segmentele
A’N’=B’N’=(PHI), se transfera masura pe verticala punctului
G’ in sus, fixandu-se pozitia punctului O’ (deasupra punctului
N’) si se uneste acest punct (trasandu-se cu RIGLA) cu punctele
A’si B’ si separat cu G’(prin H’, I’ si N’). Se obtine
triunghiul/FATA (laterala) a piramidei/PATTERN, notat aici literal
A’O’B’, format din triunghiurile dreptunghice A’O’G’ si
B’O’G’, fiecare avand laturile: CATETELE mici
A’G’=B’G’=1//CATETA mare/INALTIME/APOTEMA(comuna)O’G’=(PHI)//
IPOTENUZELE/ MUCHII A’O’=B’O’=
sqrt[(PHI^2)+1]=sqrt[3.6180339887(…)]= 1.902113033(…)…
NOTA
6:-Unghiurile si functiile trigonometrice ale triunghiurilor notate
aici cu A’O’G’ si B’O’G’ se regasesc in formulele 2.1-2.7
ale site-ului mentionat…Vreau insa sa scot in evidenta alte aspecte
ale corelatiilor ivite in acest stadiu al demonstratiei:
a)-Valoarea
1.902113033(…), fiind latura in dubla ipostaza a fetelor laterale,
reprezinta in acelasi timp MUCHIA pattern-ului PIRAMIDAL pe care il
analizam, dar este totodata expresia numerica a laturii PENTAGONULUI
STELAT inscris in cercul cu RAZA=1 (UNU/UNITATE) si se mai poate
scrie: L5S=sqrt[(PHI^2)+1]=sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]…
b)-Daca
facem insa RAPORTUL intre LATURA BAZEI si MUCHIA piramidei, respectiv
2/{sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]}=2/1.902113033(…), obtinem rezultatul
1.051462224(…), acesta reprezentand nici mai mult nici mai putin
decat…MUCHIA ICOSAEDRULUI(corpul geometric cu 20 fete triunghiuri)
inscris in SFERA cu RAZA=1, CORP GEOMETRIC care la Antici(!?)
reprezenta elementul <APA>…Din acest motiv am denumit
Pattern-ul in discutie ca fiind <PIRAMIDA APEI>. Putem spune,
fara sa gresim, ca echivalentul numeric al unui element (MUCHIA) de
constructie a unui CORP GEOMETRIC(in cazul nostru concret:
ICOSAEDRUL/APA) se constituie/transforma el insusi intr-un COD de
realizare a altei FORME GEOMETRICE: Pattern-ul PIRAMIDAL
Keops(???!)…Sunt multe de spus, de pilda nu mi se pare lipsita de
importanta observatia ca aceeasi valoare[1.051462224 (…)] apare ca
RAPORT/cod (?!) intre laturile DECAGOANELOR convexe, circumscris si
inscris aceluiasi CERC, aspect care se poate constata foarte simplu
prin rezultatul impartirii TANGENTEI si SINUSULUI unghiului de 18
gr.sexag…Sa nu uitam, de altfel, ca latura decagonului convex are
valoarea (phi)=0.6180339887(…), in timp ce latura decagonului
stelat este chiar (PHI)=1.6180339887(…), ca raportul
(PHI)=lat.decagon.stelat/lat.hexagon=
lat.hexagon/lat.decagon.convex=lat.pentagon.stelat/lat.pentagon.convex=muhia.cub(PAMANT)/muchia.dodecaedru(COSMOS/ETER/AKASHA)
s.a.m.d.
c)-Pe
aceasta filiatie, descrisa la aliniatele de mai sus [NOTA 6-a) si
-b)], mi-a aparut si inspiratia formulei <PIRAMIDA LOGISTICA>(a
se vedea detaliile unei prime variante
in http://freewebs.com/goldenno/html/df.html
),
in care sunt abordate cateva dintre corelatiile care exista si le-am
putut determina intre figuri si forme geometrice prin “prisma”
Numarului de Aur)…Si lucrurile nu se opresc aici! Deocamdata va
spun numai ca, in aceasta privinta, insasi formula<PIRAMIDEI
LOGISTICE> mai suporta comentarii si posibilitati de
perfectionare: -De pilda, pana la alte clarificari, va sugerez (macar
ca exercitiu mental) sa reflectati, in conditiile unor posibile
codificari aratate in paragraful anterior, la cele 13(14) propozitii
ale…TABULEI SMARAGDINA, in cazul de fata in special propozitiile
6-7-8!!!...Fara pretentia de a fi “ultima strigare”, iata deci o
alta varianta posibila: -Este de ajuns sa inlocuim in formula
amintita mai sus <factorul de multiplicare R> cu expresia
{1*[4/sqrt(6)]} care este ECHIVALENTUL muchiei TETRAEDRULUI, avand
valoarea numerica 1.632993162(…). Acesta din urma reprezenta
<FOCUL>s.a.m.d. Bineinteles ca se pot face multe asemena
deductii, pe care nu stiu in ce masura le veti considera pure
“speculatii”, dar in orice caz eu sustin ca nu sunt lipsite de
semnificatie, de pilda: prin impartirea ultimei expresii la [sqrt(2)]
(MUCHIA OCTAEDRULUI/AER), se obtine [2/sqrt(3)], cu valoarea numerica
1.154700538(…), aceasta fiind MUCHIA CUBULUI/PAMANT (Asadar, este
ca si cum am da curs unei proceduri de tipul ”…separam
subtilul”/FOC/TETRAEDRU “de grosier”/ PAMANT/cenusa/CUB prin
suprimarea/extragerea AERULUI/OCTAEDRU!!! Etc.).
Facand
abstractie deocamdata de expresia{[sqrt(5)-1]/sqrt(3)}
=[2(phi)/sqrt(3)]=2/ [(PHI)sqrt(3)]=0.713644179(…)=(MUCHIA
DODECAERULUI/cosmos/ETER/ AKASHA), ceea ce mi se pare si mai
interesant este faptul ca, introducand in calcul 100 drept
MULTIPLICATOR general (in locul lui <1/UNU/ UNITATE>), rezulta
115.47 metri, deci 230.94 metri pentru latura BAZEI piramidale/
PATTERN, o valoare comparabila cu masuratorile de pe Platoul GISEH
(Keops?) !?... Desi ma pot prevala aici de vorba gospodarului chinez
din cartea lui Alan Watts (orientalistul) <DAO ca o curgere de
APA>: ”Asa o fi!”, totusi convingerea mea inclina spre aceste
solutii/CODURI numerice, cu semnificatii multiple si definitorii, mai
ales ca se vor finalize, asa cum veti constata, cu configurarea/
construirea efectiva a doua piramide legate/unite, dintr-o simpla
coala de hartie A4!
PASUL
8=Trasam cu COMPASULcercul cu centrul O’, avand RAZA O’A’=O’B’=
1.902113033(…)={sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]}, iar pe conturul cercului
se transfera (tot cu compasul) de inca trei ori, din punctul B’ (in
sensul invers acelor de ceasornic!), masura segmentului A’B’[2
UNITATI], punctele notandu-se literal in continuare C’, D’(D) si
A’(A). Se unesc cu RIGLA punctele obtinute astfel. Cele patru
coarde/segmente rezultate, respectiv A’B’, B’C’, C’D’ si
D’(D)A’(A), reprezinta laturile BAZEI piramidale/ PATTERN.
PASUL
9=Se uneste (cu RIGLA) punctul O’cu punctele C’, D’(D) si
A’(A)…Am obtinut deci cele patru FETE piramidale: A’O’B’,
B’O’C’, C’O’D’ si D’O’A’. (De altfel chiar si in
acest stadiu se poate configura o piramida 3D, recurgand la taieturi
si indoituri adecuate, fara a arunca insa nici o portiune din coala
de hartie!).
PASUL
10=Trasam (cu compasul) CERCUL cu centrul N’, avand RAZA
[sqrt(PHI)]= N’G’(tangent la A’B’ in punctul G’) si se mai
traseaza (cu rigla) in josul colii PATRATUL ajutator notat A’B’C”D”,
identic/egal cu BAZA piramidei/PATTERN (A’B’C’D’) descrisa la
PASUL 9, astfel incat noua latura C”D” se situeaza la baza colii
de hartie.
-CONCLUZII
partiale=In acceptia PI=4/sqrt(PHI) se sustine ca CIRCUMFERINTA
cercului (care are ca raza inaltimea [sqrt(PHI)] a
PIRAMIDEI/pattern/in cazul nostru CERCUL cu centrul O’, de raza
O’A’=O’B’) si PERIMETRUL bazei (cu LATURA=2 UNITATI/in cazul
nostru PATRATUL notat A’B’C’D’, acelasi cu A’B’C”D”)
sunt EGALE…Cu alte cuvinte, daca vom confectiona un ECHER cu
profilul A’N’B’ putem spune ca este rezolvata definitiv
cuadratura PERIMETRELOR, in sensul ca putem trasa in orice moment un
CERC oarecare dupa care, cu ajutorul Echerului, trasam un PATRAT cu
PERIMETRUL egal cu CIRCUMFERINTA data! Am in vedere, desigur,
variante de dimensiuni. Mai fac mentiunea ca desenul demonstratiei,
prezentata aici, va diferi foarte putin fata de desenul initial din
finalul http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html
…Ii invit pe cititorii acestor randuri sa constate singuri
diferentele! O pot face chiar si in acest stadiu…
Asadar,
deocamdata am obtinut numai circulatura/cuadratura PERIMETRELOR
(chiar daca matematcienilor li se va parea o formulare improprie!),
fara de care insa nu poate fi rezolvata, in cadrul acestui procedeu,
CUADRATURA propriu-zisa, aceea a ARIILOR. …Pe de alta parte, am
considerat ca realizarea a doua piramide conexe, pe(2D) si din(3D)
aceeasi coala de hartie, este mult mai sugestiva si completa, oferind
o imagine de ansamblu a problematicii in discutie (luand in
considerare si NOTELE anexate!).
PARTEA
A II-a: CIRCULATURA/CUADRATURA SUPRAFETELOR (ARIILOR)
PASUL
11=Din
formulele 1.8 si 2.1-2.7
(http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html
)
se deduce cu certitudine ca unghiul A’I’G’(ca si B’I’G’,
de altfel) este identic/egal cu unghiul A’O’B’ si pentru
intelegerea mai buna a constructiei si demonstratiei se traseaza inca
un triunghi ajutator A”I’B”. Pentru trasare sugerez folosirea
celei mai simple metode, respectiv preluarea dimensiunilor laturilor
si inaltimii FETEI laterale A’O’B’a PATTERN-ului piramidal, cu
COMPASUL sau direct cu RIGLA, transferandu-le pe noul amplasament,
cele doua laturi egale ale triunghiului isoscel (A”I’ si B”I’)
devenind astfel prelungiri ale laturilor GNOMONULUI, I’A’ si
I’G’, inaltimea notandu-se cu I’G”(egala cu O’G’),
detaliu mai putin important pentru <ikonomia> demonstratiei!
NOTA
7:-Remarcam insa un alt DETALIU foarte IMPORTANT: - Cu ajutorul
unghiului A’I’G’se pot determina functii trigonometrice ale
unghiului A’O’B’in ipostaza situarii acestuia intr-un triunghi
dreptunghic, identic cu GNOMONUL nostru (PRIMORDIAL
/UNIVERSAL)…Pentru exemplificare si intr-o masura majora pentru un
motiv pe care vi-l voi dezvalui imediat si-l veti intelege in
urmatorii pasi ai demonstratiei, ne limitam numai la functia COSINUS:
I’G’/I’A’= 0.5/[sqrt(5)/2]=0.447213595(…)…Se confirma
astfel unghiul de 63.43494883(…)gr.sexag. din varful fetelor
laterale ale PATTERN-ului piramidal!
Ei
bine, trebuie sa gasim MODELUL/PROCEDEUL similar pentru construirea
unei PIRAMIDE a carei INALTIME sa fie de asta data RAZA unui CERC cu
ARIA egala cu SUPRAFATA aceluiasi PATRAT(baza piramidei!)…Dar mai
intai stabilim foarte usor ca INALTIMEA unei asemenea piramide, in
conditia PI=4/sqrt(PHI), trebuie sa fie
sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838485(…) in raport cu 1(UNU/UNITATE),
respectiv cu jumatatea laturii BAZEI…
Ca
noutati pentru site-ul http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html
,
voi adauga formulele 2.22-2.42, astfel: formulele 2.22-2.28 pentru
fetele piramidei, 2.29-2.35 pentru sectiunea meridiana/mediana si
2.36-2.42 pentru sectiunea corespunzatoare muchiilor si diagonalei
bazei. Deocamdata insa avem nevoie numai de UNGHIUL din varful
FETELOR laterale, al carui COSINUS il stabilim asa cum am procedat la
PASUL 11! Aceste elemente le-am gasit usor: UNGHIUL este de
67.12283858(…)gr.sexag. cu COSINUS=0.388756727(…). Urmeaza sa
plasam UNGHIUL gasit intr-un triunghi DREPTUNGHIC cu laturi
determinabile…Cel mai simplu si sugestiv este sa ne axam pe aceeasi
CATETA G’I’=1/2=0.5, dupa care trebuie sa-i aflam IPOTENUZA, a
carei valoare numerica o putem deja stabili prin urmatorul calcul:
0.5/0.388756727(…)= =1.286151377(…).
PASUL
12=Prin punctul H’trasam ca linie intrerupta segmentul ajutator
PQ, paralel si egal (2 UNITATI) cu A’B’ si notam cu R intersectia
acestuia (PQ) cu A’N’. Am obtinut segmentul PR a carui valoare
numerica este 1/sqrt(PHI)=0.786151377(…), corect determinata:-Este
COTANGENTA unghiului N’A’G’=51.82729237(…)gr.sexag.,
respectiv inclinatia fetelor laterale pe baza piramidei PATTERN(v.si
Anexa<NOTE>)!
PASUL
13=Intre varfurile COMPASULUI preluam segmentul H’I’(sau
G’I’) si plasam masura(1/2=0.5) in continuarea segmentului PR
(spre dreapta), obtinand segmentul PS=
PR+RS=1/sqrt(PHI)+1/2=0786151377(…)+0.5=1.286151377(…).
PASUL
14=Tot cu ajutorul COMPASULUI, fixandu-i acul in punctul I’,
transferam masura PS pana la intersectia cu prelugirea segmentului
A’B’ si obtinem segmentul I’S’. Rezulta unghiul G’I’S’de
67.12283858(…)gr.sexag. al carui COSINUS este I’G’/I’S’=
0.5/1.286151377(…)= 0.3887567(…). Prelungim segmentul I’S’in
jos, spre dreapta colii (segmentul I’G’este deja prelungit)…Am
obtinut astfel unghiul din VARFUL fetei unei posibile PIRAMIDE.
Aceasta din urma va avea, in mod cert INALTIMEA -veti vedea- de
sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838485(…).
PASUL
15=Folosind procedeele elementare cunoscute, determinam si
trasam, ca semidreapta, bisectoarea unghiului G’I’S’. De-o
parte si de alta a bisectoarei culisam cu coltul dreptunghic al
ECHERULUI gradat(RIGLA) pana la obtinerea UNITATII alese (la PASUL 2)
si respectiv a BAZEI de 2 UNITATI cu intersectiile prelungirilor
segmentelor I’G’si I’S’. Notam punctele de intersectie cu
A(e), pe prelungirea segmentului I’G’ si cu D(f) pe prelungirea
segmentului I’S’. Notam cu G(t) proiectia bisectoarei pe mijlocul
segmentului BAZA notat A(e)D(f).
PASUL
16=Cu RIGLA si COMPASUL transferam toate elementele de
constructie si punctele de intersectie ale triunghiului isoscel
A(e)I’D(f), rezultat la PASUL 15, pe amplasamentul avand ca BAZA
latura A’(A)D’(D) si se modifica notatia noului amplasament al
punctului I’, acesta devenind O. Putem deja sa afirmam ca am
obtinut si am amplasat una din fetele unei noi PIRAMIDE si ii putem
modifica/simplifica notatia literala a variantei de lucru, avand acum
ca rezultat triunghiul isoscel AOD cu inaltimea OG, latura AD(DA)
fiind comuna (aceeasi) cu latura bazei A’D’(D’A’) a primei
piramide/PATTERN. Acest triunghi este format din triunghiurile
dreptunghice AOG si DOG, avand laturile dimensionate astfel:
1=CATETELE mici AG si DG// sqrt[sqrt(PHI)+1]=1.507322(…)=CATETA
mare (comuna)/INALTIMEA/APOTEMA notata
OG//sqrt[sqrt(PHI)+2]=1.808872(…)= IPOTENUZELE/MUCHIILE piramidei,
notate OA si OD.
PASUL
17=Trasam cu COMPASUL cercul cu centrul in punctul O, cerc a
carui circumferinta trece prin punctele A si D, avand deci raza OA
(ca si OD, de altfel!). Procedam in continuare ca la PASUL 8,
transferand din punctul A de inca trei ori masura segmentului AD pe
conturul cercului, de data asta in sensul acelor de ceasornic, notand
bineinteles punctele de contact cu circumferinta B, C si D, care se
unesc trasandu-le cu RIGLA. Avem ca rezultat toate cele patru
coarde/laturi ale BAZEI noii PIRAMIDE: AB, BC, CD si DA [aceasta din
urma fiind folosita pana acum cu notatiile A(e)(A’)D(f)(D’) ca
variante de lucru si pentru efectuarea transferurilor, pozitionarea
pe noul amplasament etc.].
PASUL
18=Procedand ca la PASUL 9, unim punctul O cu punctele A, B, C si
D si obtinem cele patru fete ale noii PIRAMIDE: AOB, BOC, COD si
DOA…Desi acum putem sa configuram tridimensional(3D) doua piramide
legate, amanam momentul deoarece nu am terminat DEMONSTRATIA pe care
mi-am propus-o privind circulatura/ CUADRATURA suprafetelor/ARIILOR…
PASUL
19=Preluam cu COMPASUL masura segmentului OG=INALTIMEA fetelor/
APOTEMA=sqrt[sqrt(PHI)+1=1.507322(…) si fixand varful ascutit in
punctele A si D, determinam intersectia comuna cu OG, pe care o notam
cu N, triunghiul AND fiind (chiar daca folosim aceleasi notatii)
sectiunea MEDIANA a noii PIRAMIDE, formata din triunghiurile
dreptunghice ANG si DNG, cu dimensiunilelaturilor: 1=CATETELE mici AG
si DG//sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838(…)=CATETA mare(comuna)/INALTIMEA
piramidei//sqrt[sqrt(PHI)+1]=1.507322(…)=IPOTENUZELE/APOTEME ale
noii PIRAMIDE…
PASUL
20=Trasam CERCUL cu centrul N, tangent la latura AD in punctul G,
avand deci RAZA NG=sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838(…). De asta data va
spun ca am finalizat ceea ce mi-am propus si anume DEMONSTRATIA
privind circulatura ARIILOR, in sensul ca am obtinut un CERC (cu
centrul N si raza NG) a carui ARIE este egala cu fiecare din
SUPRAFETELE date ale patratelor ABCD si A’B’C’D’, BAZELE
celor doua PIRAMIDE, precum si cu patratul ajutator A’B’C”D”.
Aceasta pare o rezolvare inversa a CUADRATURII, dar puteti constata
foarte usor ca, daca vom confectiona ECHERE cu profilul AND de
diferite dimensiuni, putem oricand sa afirmam, fara “teama” de a
gresi, ca ne aflam in posesia REZOLVARII definitive a CUADRATURII
(propriu-zise), pe care o putem purta in…BUZUNAR!!!
PASUL
21=Se traseaza liniile hasurate (tip “cusatura”) spre
marginile colii de hartie, pe care, pentru evitarea confuziilor,
le-am notat astfel: A’a’, B’b’, O’o’, C’c’, Aa, D’d’,
Bb, Oo, Cc (posibil foarte scurta sau deloc!) si Dd…Observati ca am
facut enumerarea de jos in sus! Oricum, cu sau fara hasurare, taiem
cu FOARFECA pe aceste linii/trasee, urmarind exactitatea taieturilor.
PASUL
22=Se procedeaza la indoirea portiunilor de hartie obtinute in
conditiile de mai sus, precum si confectionarea propriu-zisa a celor
DOUA PIRAMIDE unite/legate, asa cum urmeaza (enumerarile le fac de
sus in jos!):
a)-Pe
liniile celor 7 BAZE, notate cu CD, BC, AB, DA(D’A’), C’D’(D),
B’C’ si B’A’, indoirea se face in sus, spre <suprafata de
lucru> a colii de hartie, portiunile ramase libere in afara celor
DOUA PIRAMIDE constituindu-se ele insele intr-o PLATFORMA de sprijin
si sustinere a intregului “EDIFICIU”!
b)-Pe
liniile celor 10 MUCHII, notate OD, OC, OB, OA(A’), OD(D’),
O’A’(A), O’D’(D), O’C’, O’B’ si O’A’, indoiturile
se fac in sensul invers celor de la aliniatul (a), respectiv in jos,
spre dosul/spatele colii de hartie, dar numai atat incat sa permita
oricand formarea celor DOUA profiluri piramidale…Ramane la
latitudinea fiecaruia maniera/ modalitatea de fixare si stabilizare a
celor doua PIRAMIDE, respectiv cu ace, agrafe sau pelicanol!!!
CUADRATURA, pur si simplu !
CUADRATURA:
-Ambele segmente, LATURI ale PATRATELOR corespondente CERCULUI (de
DIAMETRU=1/UNITATE), sunt construibile/CONSTRUITE cu RIGLA si
COMPASUL, rezultand din FUNCTIILE trigonometrice ale urmatoarelor
UNGHIURI :
1)Pentru
PERIMETRU:
LATURA=1/sqrt(PHI)=sqrt(phi)=sin51.82729237(…)gs.=ctg51.82729237(…)=
=cos38.17270763(…)gs=tg38.17270763(…)gs=0.786151377(…).
2)Pentru
SUPRAFATA (CUADRATURA propriu-zisa):
LATURA=1/sqrt[sqrt(PHI)]=sqrt[sqrt(phi)]=ctg48.43814254(…)gs=tg41.56185746(…)gs=
=0.886651779(…).
***
Scurte precizari despre formule si dezbateri, deocamdata!
Pentru evitarea unor confuzii, precizez ca nu am pus problema omologarii formulelor care se regasesc inhttp://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html si pe care oricine (mai ales MATEMATICIENII!) le poate verifica si analiza pentru a se convinge asupra unor corelatii privind Numarul de Aur, altele decat cele cunoscute pana acum...Pot subblinia insa ca as fi mai mult decat multumit daca se vor gasi amatori si mai ales PASIONATI de ADEVAR care sa faca MASURATORI ale circumferintelor unor CERCURIi cu diferite DIAMETRE si cu diferite mijloace (rulete, aparatura etc.)...Se vor convinge ca toate CIRCUMFERINTELE sunt multiplii lui 4/radical(PHI)=4radical(phi)=3.1446(...)!!! Bineinteles ca aceasta constatare pune sub semnul intrebarii valoarea CONSTANTEI CERCULUI, a PI-ului, deschizand si o alta perspectiva asupra multor TEORII si chiar in multe DOMENII din PRACTICA...In opinia mea, nicio TEORIE/ACTIUNE integratoare sau de CUNOASTERE a UNIVERSULUI nu poate progresa si nu se poate finaliza fara sa fie luat in considerare/calcul PI=3.1446(...)=4radical(phi)!Nu evit aspectul ca dezbaterea pe care am incercat sa o conturez pe http://www.stiinta.info/forum/index.php?topic=84.0 a depasit uneori limitele bunului simt...Oricum, eu consider ca cele sustinute de mine se pot constitui cel putin intr-o TEMA de CERCETARE de sine statatoare, cu sanse de a se concretiza ca DESCOPERIRE ROMANEASCA...Pana nu este prea tarziu, multe din elementele definitorii fiind preluate si cunoscute pe alte meleaguri!
Mircea-Mugurel
Serban (VLAHSTAR)
Trimiteri:
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu